Padziļināta rokasgrāmata opciju tirdzniecības grieķu mainīgajiem

Grieķi

Grieķi - delta, gamma, teta, vega un rho - ir pieci mainīgie, kas palīdz identificēt opcijas pozīcijas riskus.

Riski, ar kuriem investori saskaras, izmantojot opcijas, nav viendimensionāli. Lai tiktu galā ar mainīgajiem tirgus apstākļiem, ieguldītājam būtu jāapzinās šo izmaiņu apjoms. Lai noskaidrotu, vai izmaiņas ir lielas vai mazas, neatkarīgi no tā, vai tās rada lielu vai nelielu risku, opciju teorija un iespēju cenu noteikšanas modeļi sniedz ieguldītājiem mainīgos, kas identificē viņu opcijas pozīcijas riska raksturojumu. Šie mainīgie tiek saukti par grieķiem. Ir pieci grieķi, kurus mēs uzraugām: delta, gamma, teta, vega un rho.

Tā kā grieķi ir Black & Scholes formulas atvasinājumi, mēs sāksim ar to vairāk paskaidrot.

Black & Scholes

Formula Black and Scholes, dažkārt pazīstama kā Black, Scholes un Merton formula, ir tirgus standarta rīks cenu noteikšanas iespējām. Šī formula nosaka cenu opciju kā pašreizējās akciju cenas S ₀, T opcijas termiņa beigu laiku, tās streiku X, svārstīgumu σ un procentu likmi r:

zvans = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) ar

kur N (x) ir standarta normālā sadalījuma kumulatīvā normālā sadalījuma funkcija, ti, varbūtība, ka nejaušais mainīgais ~ N (0,1) (ar standarta normālo sadalījumu) ir mazāks par x.

Pirms apspriedīsim formulu, norādīsim pamatā esošos pieņēmumus. Formula Black and Scholes pieņem:

Rezultāti ir IID (neatkarīgi un identiski sadalīti) ar normālu sadalījumu.
Nākotnes nepastāvība ir zināma un nemainīga.
Nākamā procentu likme ir zināma, nemainīga un vienāda aizņēmumiem un aizdevumiem.
Akciju ceļš ir nepārtraukts, un ir iespējama nepārtraukta tirdzniecība.
Darījuma izmaksas nav vērtīgas.

Lai izstrādātu teoriju, mēs pieņemam, ka visi šie pieņēmumi ir spēkā. Šī formula ir tirgus standarts, jo tā ir ārkārtīgi izturīga attiecībā uz tās pieņēmumu pārkāpumiem.

Delta

Pirmais grieķu valoda, kas tiks apspriesta, ir delta. Būtībā delta ir opcijas teorētiskās vērtības jutīgums pret pamata līguma cenas izmaiņām. Vienkāršāk sakot, delta ir opcijas vērtības maiņa, kad bāzes vērtība palielinās par 1 dolāru. Piemēram:

Δ _zvans = ∂c / ∂S = N (d ₁) un Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

ar N (d ₁) kā BS formulā.

Pirkšanas iespējas vērtība palielinās, kad akciju cena paaugstinās, tāpēc pirkšanas iespējas delta ir pozitīva. Turpretī pārdošanas opcijas vērtība samazinās, kad akcijas cena paaugstinās, tāpēc pārdošanas iespējas delta ir negatīva.

Var atzīmēt, ka N (x) ir varbūtības blīvuma funkcija, tāpēc tā iegūst vērtību. Viena zvana delta vienmēr ir iekšā un viena ieliktā delta. Tā kā pamatā esošais līmenis parasti ir 100 akcijas, opcijas delta tiek reizināta ar 100. Piemēram, opcija ar deltu 0,25 tiek uzskatīta par deltu 25. Jo augstāka delta, jo līdzīgāka būs opcijas vērtības maiņa. būt pamatā esošajam krājumam. Opcijas ar delta 100 vērtība pārvietosies tieši tādā pašā tempā kā bāzes akcija. Ņemiet vērā arī to, ka atvasinātā operācija ir lineāra, tāpēc mēs varam aprēķināt katras opcijas deltu un tās summēt, lai iegūtu visa portfeļa deltu (tad tā, protams, var būt ārpus).

Kad opcija tuvojas termiņa beigām, tā delta mainīsies, jo mainās varbūtība izbeigt naudu vai no tās, un normālais sadalījums sašaurinās un koncentrējas ap vidējo. Kad opcija tuvojas termiņa beigām, naudas iespējas opcijas virzīsies uz delta 100, bet ārpus naudas opcijas virzīsies uz delta 0. Savukārt naudas opcijas paliks ap deltu. 50.

Mainoties akciju cenai, mainās arī delta. Tas ir sagaidāms, jo d ₁ ir akciju cenas funkcija.

Zvana delta

Praktiska delta interpretācija ir riska ierobežošanas koeficients: akciju daudzums, kas būtu jāpērk vai jāpārdod, lai neitralizētu opcijas virziena risku. Pēc BS formulas mēs varam redzēt citu interpretāciju. Aptuveni runājot, mēs varam teikt, ka opcijas delta ir tā varbūtība, ka nauda beigsies. (Par likmi mēs ņemsim absolūto vērtību). Tomēr šī aproksimācija darbojas tikai attiecībā uz Eiropas iespējām.

Apkopojot, ir trīs delta interpretācijas:

Opcijas vērtības izmaiņas, ja pamatā esošais pieaug par 1 dolāru.
Riska ierobežojums: akciju skaits, kas jāpērk vai jāpārdod, lai neitralizētu pozīcijas virziena risku.
Iespēja, ka, beidzoties termiņa beigām, iespēja būs nauda

→ OTM zvani: tuvojoties termiņa beigām, delta mēdz būt 0.

→ ITM zvani: laika gaitā delta mēdz būt 100.

Pārdošanas un bāzes cenas delta

Delta pret nepastāvību

Pieaugot (samazinoties) svārstībām, zvana delta iet uz (prom no) 0,50 un pārdošanas delta uz (prom no) -0,50. Tātad, ja svārstīgums palielinās (samazinās), naudas opcijas delta samazinās (palielinās). Gadījumā, ja nav naudas iespējas, tas ir tieši otrādi.

Delta pret laiku

Laika samazināšanās laikā zvana delta attālinās no 0,50, bet atlikšanas - no -0,50. Laikam ejot, naudas izsaukuma delta virzās uz 1 un naudas ārā delta uz 0.

Gamma

Gamma ir delta atvasinājums kā akcijas cenas funkcija. Tā kā delta ir opcijas vērtības atvasinājums kā pamatā esošās akcijas funkcija, gamma ir delta maiņa, kad akcijas cena palielinās par 1 dolāru. Tas ir rakstīts šādi:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

ar d ₁ kā BS formulā un N 'ir pirmais Gausa kumulatīvā blīvuma funkcijas atvasinājums, tas ir, parastais Gausa blīvums:

Gamma pret akciju cenu, Gamma pret laiku

Kāds bieži saka, ka gamma sasniedz maksimālo vērtību, ja opcija ir bankomāts. Tas ir pareizi kā pirmais aptuvenais vērtējums, tomēr reālais maksimums tiek sasniegts, kad akciju cena ir tieši zem streika cenas. Šis efekts ir parādīts augšējā attēla kreisajā daļā attiecībā uz akciju tirdzniecību ar 100 dolāriem. Izpildot strike X, nestabilitāti σ koeficients, r, un laiks, lai derīguma T, akciju vērtība sniedzot maksimālu gamma ir S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

Zvana un likmes gamma līkne ir identiska. Tas atbilst tam, ko līdz šim mēs teicām par zvaniem un likumiem kopumā, kā arī par gammu.

Samazinoties laikam līdz derīguma termiņam, palielinās naudas pieejas iespēju gamma un teta. Tieši pirms derīguma termiņa beigām šie mainīgie var kļūt dramatiski lieli.

Gamma pret laiku

Kā redzams iepriekš redzamajā attēlā, grafiks šaurinās, bet kopējā virsma zem diagrammas paliek nemainīga. Tā rezultātā diagramma iegūst daudz augstāku augšdaļu. Augšējā augšdaļa simbolizē gamma un teta pieaugumu, jo laiks līdz termiņa beigām samazinās.

ITM, ATM un OTM zvanu uzvedības dēļ mēs redzam, ka tuvojas derīguma termiņa beigām delta līkne saasināsies ap streiku. Tāpēc laika gaitā ATM opcijai gamma palielināsies. Tomēr tas neattiecas uz OTM un ITM iespējām.

Gamma ir svarīgs riska parametrs, jo tas nosaka, cik daudz naudas mēs varam iegūt vai zaudēt mūsu delta neitrālajā portfelī, mainoties akciju cenai. Šajā piemērā mēs novērtēsim opcijas pozīcijas P / L kā pamatā esošās bāzes kustības sekas. Mēs pieņemsim, ka pastāvīga gamma ir 2,7, tāpēc delta mainās par 2,7 par bāzes dolāra kustību uz vienu dolāru.

Pieņemsim, ka mēs 80 reizes zvanu pērkam 1000 reizes pie 5.52 ar akciju cenu 79 dolāri. Lai būtu delta neitrāls, mums vajadzētu pārdot 51 100 akcijas. Akciju cena attīstās šādi:



t =	Akciju cena
0	79
1	84.
2	76
3	79

Pie t = 1 un t = 2 es noregulēju savu dzīvžogu, lai būtu delta neitrāls. Pie t = 3 es aizveru savu pozīciju.

Trīs veidi, kā aprēķināt pozīcijas vērtības izmaiņas

Šeit ir trīs veidi, kā aprēķināt mūsu pozīcijas vērtības izmaiņas, pirmais izmantojot naudas plūsmu, otrais - delta un trešais - gamma.

1. Peļņas aprēķināšana, izmantojot naudas plūsmu

Vispirms mēs aplūkojam naudas plūsmas, kā parādīts zemāk esošajā tabulā. Otrajā kolonnā ir parādītas naudas plūsmas, kas saistītas ar zvanu, un trešajā - ar manu krājumu pozīciju. Pēdējā rinda summē visus:

Tātad galu galā mēs gūstam 132 300 peļņu. Ja mums ir garas iespējas un tādējādi mums ir gara gamma pozīcija, mums ir jāpērk akcijas, ja akciju cena samazinās, un akcijas jāpārdod, ja akciju cena palielinās (pērciet zemu, pārdodiet augstu), tāpēc mēs vienmēr gūstam peļņu, ja akcijas pārvietojas. Pārliecinieties, vai tas ir derīgs gan zvaniem, gan zvaniem.

2. Peļņas aprēķināšana, izmantojot Delta

Tagad mēs apsveram otru peļņas aprēķināšanas veidu. Darījumi ir vienādi, tikai atšķiras peļņas aprēķins. Ar šo metodi mēs vienlaikus apsveram iespēju un akciju pozīciju. Mums ir akcijas kā riska ierobežojums, tāpēc ņemiet vērā tikai kopējo delta pozīciju. Mēs sākam delta neitrālu. Tad akcija pārvietojas, mēs iegūstam deltas. (Mēs aprēķinām iegūtās deltas, izmantojot starpību starp divām dotajām sākuma un beigu krājuma vērtībām. Lai iegūtu vidējo deltu pārvietošanās laikā, mēs šo vērtību dalām ar divām). Portfeļa vērtība pieaug saskaņā ar tā deltām, kā paskaidrots turpmāk.

Šajā gadījumā mēs izmantojam vidējās delta metodi. Tas ir, mēs:

Aprēķiniet vidējo delta pozīciju akciju pārvietošanās laikā.
Lai aprēķinātu peļņu, reiziniet to ar intervālu.

Laikā t mēs nodrošināmies, tāpēc pērkam / pārdodam akcijas, tāpēc delta atkal ir neitrāla.

Apskatīsim to rūpīgāk:

Pie t = 0, akciju tirdzniecība 79, mēs sākam delta neitrālu pozīciju, tas ir, mums ir 51 100 akciju
Pie t = 1, akciju tirdzniecība 84. Opcijas pozīcijas delta ir 64,6 * 1000 (no opcijām) -51100 (no akcijām). Starp t = 0 un t = 1 mana delta pozīcija ir no 0 līdz 13 500. Mana vidējā delta kustībai bija (13 500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 par zvanu). Lai aprēķinātu savas pozīcijas PnL, es šīs deltas reizinu ar akciju kustības summu: 6570 * 5 = 33 750 dolārs. Lai realizētu šo peļņu, man ir jāpārdod akcijas, lai tās atkal būtu neitrālas.
Pie t = 2, akciju tirdzniecība ir 76. Manas opcijas pozīcijas delta ir 43,0 * 1000 un manas akciju pozīcijas delta ir -64600…

Peļņas aprēķināšanas piemērs, izmantojot Gamma.

3. Peļņas aprēķināšana, izmantojot gamma

Iepriekš minētajā piemērā mēs aprēķinājām vidējo delta pozīciju, ņemot vidējo sākuma delta pozīciju un galīgo delta pozīciju. To var panākt arī, izmantojot gammu, jo gamma nosaka delta izmaiņu par dolāru.

Paskaidrosim, kā:

Pie t = 0, akciju tirdzniecība ir 79, delta neitrāla, gamma ir 2700.
Pie t = 1, akciju tirdzniecība ir 84. Akcijas pārvietojās par 5, tāpēc mana jaunā delta pozīcija ir 5 * 2700. Pārvietošanās sākumā mana delta bija 0, tāpēc mana vidējā delta ir 5 * 2700/2. Akcijas pārvietojās par 5, tāpēc portfelis ieguva 5 * vidējo delta = 5 * 5 * 2700/2. Portfelis ir apdrošināts, lai delta atkal būtu 0. Mēs to saucam par "gamma skalpēšanu". Gara gamma pozīcija ļauj pirkt zemu un pārdot augstāk.
Pie t = 2, akciju tirdzniecība ir 76. Tas ir 8 dolāru gājiens, mana jaunā delta pozīcija ir 8 * 2700…

Var izmantot šādu vispārīgo formulu, ja mēs sākam no delta neitrāla portfeļa:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2