Kā aprēķināt salikto procentuālo izmaiņu

Sorobans par ātru skaitīšanu

Deivids Vilsons

Kādas ir saliktas procentuālās izmaiņas?

Mēs visi esam informēti par procentuālajām izmaiņām. Neatkarīgi no tā, vai melnās piektdienas pārdošanas cena ir 25% atlaide jaunai televīzijai, vai vilcienu cenu pieaugums par 5% (atkal), summas mainīšana par procentu ir ikdienas prasme. Bet kā ir ar salikto procentu izmaiņām?

Iedomājieties, ka jūs iemaksājat 100 sterliņu mārciņu bankā krājkontā ar fiksētu 4% procentu likmi, kas tiek izmaksāta katru gadu. Gada beigās (pieņemot, ka neesat pieskāries sākotnējam depozītam) jūsu nauda būs palielinājusies par 4%, kontā dodot papildu £ 4 un kopā £ 104.

Ja jūs visu šo naudu atstājat kontā vēl uz gadu, kas tad notiek? Vai jūs saņemat bankā vēl 4 mārciņas un kopā 108 mārciņas? Nē. Otro gadu jūs saņemat ne tikai 4% no sākotnējiem 100 sterliņu mārciņām, kas joprojām atrodas bankā, bet arī 4% no papildu 4 mārciņām, kuras nopelnījāt ar procentiem iepriekšējā gadā. 4% no £ 104 ir £ 4.16, kas nozīmē, ka otrā gada beigās jūsu kontā būs £ 104 + £ 4.16 = £ 108.16. Pieņemot, ka nepieskaraties naudai vienā brīdī un ka 4% procentu likme paliek nemainīga, jūs katru gadu nopelnīsit vairāk naudas, jo summa kontā palielināsies. Tā ir salikta interese.

Piezīme. Ja jūs tikko katru gadu saņēmāt 4 mārciņas, to sauc par vienkāršu interesi.

Kā aprēķināt salikto procentuālo pieaugumu

Apskatīsim, kā aprēķināt salikto procentuālo pieaugumu (strādājot ar piemēriem, piemēram, mūsu, arī zinām kā saliktos procentus).

Tāpat kā iepriekš, jūs sākat ar £ 100 bankas kontā un fiksētu procentu likmi 4%. Mēs varētu atrast 4%, dalot 100 mārciņas ar 100, lai iegūtu 1%, un tad reizinot to ar 4. Tas ir lieliski vienu gadu, bet, ja mēs vēlētos noskaidrot, cik daudz mums būs kontā 5 vai 10 gadus pēc kārtas, tas prasīs daudz laika.

Tā vietā mēs izmantosim kaut ko, ko sauc par reizinātāja metodi. Ja mēs sākotnējo depozītu nosauksim par 100%, tad pēc 4% pieauguma mēs nonāksim pie 104%. Lai aprēķinātu 104% no summas, mēs vispirms pārvēršam procentus decimāldaļās, dalot ar 100, iegūstot 104/100 = 1,04. Reizinot ar šo 1,04, summa vienā reizē palielināsies par 4%.

Piemēram, mums jāsāk £ 100, tāpēc pēc gada mums ir £ 100 x 1,04 = £ 104. Pēc vēl viena gada mums ir £ 104 x 1,04 = £ 108,16, tad £ 108,16 x 1,04 = £ 112,49 un tā tālāk. Tomēr mēs varam to vēl vairāk paātrināt.

Mēs reizinām ar vienu un to pašu reizinātāju 1,04 reizi gadā, kas paiet, tāpēc, ja vēlamies atrast kopsummu vairākus gadus tālāk, mēs varam reizināt ar 1,04 tik daudz reižu, izmantojot pilnvaras.

Piemēram, pēc 5 gadiem mums būs £ 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, kas ir tas pats, kas £ 100 x 1,04 ⁵ = £ 121,67.

Pēc 25 gadiem mums būtu £ 100 x 1,04 ²⁵ = £ 266,58. Iedomājieties, cik ilgs laiks būtu pagājis, ja mēs katru gadu atsevišķi sastādītu 4%!

Vēl viens savienojuma procentuālā pieauguma piemērs

Izmēģināsim citu salikto procentuālo pieauguma piemēru.

Pilsētas iedzīvotāju skaits katru gadu palielinās par 12%. Ja tas sākas ar 30 000 cilvēku un pieņemot, ka šis pieaugums nemainīsies, kāds būs iedzīvotāju skaits pēc 6 gadiem? Kas par 20 gadu laiku?

Tātad, mēs sākam ar 100% un vēlamies 12% pieaugumu, līdz ar to mēs sasniegsim 112%, kas ir 1.12 kā decimāldaļa.

Tāpēc pēc 6 gadiem iedzīvotāju skaits būs 30 000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Pēc 20 gadiem tas būs 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Kas par savienojuma procentuālo samazinājumu?

Saliktais procentuālais samazinājums (pazīstams arī kā savienojuma sabrukšana) ir tad, kad summa vairākas reizes samazinās par to pašu procentuālo daudzumu. Metode, kā to atrast, ir ļoti līdzīga pieauguma noteikšanai.

Pieņemsim, ka esat iegādājies automašīnu par 20 000 mārciņu, un katru gadu automašīnas vērtība samazinās par 15%. Mēs vēlamies uzzināt, cik daudz automašīna būs vērts pēc pieciem gadiem.

Mēs varētu atrast 15% no 20 000 mārciņām, atņemt to, pēc tam atrast 15% no jaunās summas un tā tālāk, bet atkal tas prasīs kādu laiku. Tā vietā aplūkosim reizinātāju izmantošanu, kā mēs to darījām iepriekš.

Ja mēs sākam no 100%, samazinājums par 15% mums atstās 85%. Tāpēc tā vietā, lai domātu par katru gadu par 15% samazinājumu, mēs varam domāt par to, ka tas ir 85%. 85% aiz komata ir 85/100 = 0,85, tāpēc, lai atrastu 85%, mēs reizinām ar 0,85. Lai to izdarītu vairākas reizes, mēs izmantojam pilnvaras, kā mēs to darījām iepriekš.

Tātad, atgriežoties pie mūsu automašīnas piemēra, pēc 5 gadiem vērtība būs £ 20 000 x 0,85 ⁵ = £ 8 874,11.

Pēc 10 gadiem vērtība būs £ 20 000 x 0,85 ¹⁰ = £ 3 937,49.

Papildu piemērus skatiet zemāk esošajā videoklipā.

Salikta interese par YouTube kanālu DoingMaths

© 2020 Deivids